Question

20．已知tan$α=\frac{4}{3}$，cos（β-α）=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
（1）求sin²α-sinαcosα的值
（2）若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，求β的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα、sin（β-α）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cosβ=cos[（β-α）+α]的值．

解答 解：（1）∵tan$α=\frac{4}{3}$，∴sin²α-sinαcosα=$\frac{{sin}^{2}α-sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α-tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{16}{9}-\frac{4}{3}}{\frac{16}{9}+1}$=$\frac{4}{25}$．
（2）∵tan$α=\frac{4}{3}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$．
∵cos（β-α）=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，∴sin（β-α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-α）}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}•\frac{3}{5}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}•\frac{4}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．