Question

已知函数f（x）=

1-5x

1+5x

．
（1）写出f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）已知f（x）在定义域内为单调减函数，若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求出f（x）的定义域；
（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可．

解答： 解：（1）∵5^x＞0，5^x+1＞0恒成立
∴x∈R
即f（x）的定义域为{x|x∈R}．
（2）∵由（1）得f（x）的定义域为{x|x∈R}关于原点对称，
∴f（-x）=

5-x-1

5-x+1

=

1-5x

1+5x

=-

5x-1

5x+1

=-f（x）
∴f（x）为奇函数．…（7分）
（3）∵对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
又∵f（x）是奇函数∴f（t²-2t）＜f（k-2t²）
又∵f（x）在定义域内为单调减函数∴t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0得k＜-

1

3

即为所求．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，综合考查了函数的性质．