Question

设命题p：复数z=1+ci（i为虚数单位），|z|≤2；命题q：函数y=c^x（c＞0且c≠1）在R上为减函数；命题r：不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R．
（1）若p∧q为真命题，求实数c的范围；
（2）若q∨r为真，￢r为真，求实数c的范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）根据复数的模，指数函数的单调性求出命题p，q下的c的范围，然后由p∧q为真，得p真，q真，这样求出命题p，q下c的范围的交集即可；
（2）根据一元二次不等式的解和判别式的关系求出命题r下的c的范围，根据q∨r为真，￢r为假，得出q真，r假，这样求出r假时c的范围和q真时c的范围求交集即可．

解答： 解：（1）命题p：|z|=

1+c2

≤2，解得-

3

≤c≤

3

；
命题q：函数y=c^x（c＞0且c≠1）在R上为减函数，∴0＜c＜1；
∵p∧q为真命题，∴p真，q真；
∴-

3

≤c≤

3

，且0＜c＜1；
∴0＜c＜1；
∴实数c的范围为（0，1）；
（2）命题r：不等式x²+（1-4c）x+4c²-1＞0的解集为R；
∴△=（1-4c）²-4（4c²-1）＜0，解得c＞

5

8

；
∵q∨r为真，￢r为真，∴q真r假；
∴0＜c＜1，且c≤

5

8

；
∴0＜c≤

5

8

；
∴实数c的范围为(0，

5

8

]．

点评：考查复数的模的计算公式，指数函数的单调性，p∧q，q∨r，￢r的真假和p，q，r真假的关系．