Question

函数f（x）=2x²+k•|x-1|（k∈R）的最小值是f（1）=2，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据x与1的大小关系去掉绝对值化简解析式，再分别求出每段上的对称轴方程，由函数的最小值和二次函数的性质列出方程组，求出k的值．

解答： 解：由题意得，f（x）=2x²+k•|x-1|=

2x2+kx-k，x≥1 2x2-kx+k，x＜1

，
令g（x）=2x²+kx-k=2(x+

k

4

)2-

k2

8

-k，对称轴是x=-

k

4

h（x）=2x²-kx+k=2(x-

k

4

)2-

k2

8

+k，对称轴x=

k

4

，
因为函数f（x）的最小值是f（1）=2，
所以

- k 4 =1 - k2 8 -k=2

或

k 4 =1 - k2 8 +k=2

，
解得k=4或-4，
故答案为：±4．

点评：本题考查了分段函数的最值问题，二次函数的性质，分段函数的最值的求法是对每一段分别求最值，最后再取最大值和最小值．