题目内容
7．某福彩中心准备发行一种面值为2元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖概率为0.2；
②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，10元和100元三种；
③顾客购买一张彩票，获得10元奖金的概率为0.08，获得100元奖金的概率为p．
（1）若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票，求其在第3天才中奖的概率；
（2）福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展，应如何设定P的取值．
分析 （1）设Ai：第i天中奖，A：第3天才中奖，由$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）=P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）P（{A_3}）$，由此能求出该顾客第3天才中奖的概率．
（2）设卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，ξ可以取2，-3，-8，-98，分别求出相应的概率，得到Eξ，由Eξ＞0，能求出结果．
解答 （本小题满分12分）
解：（1）设Ai：第i天中奖，A：第3天才中奖，
则$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）=P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）P（{A_3}）=0.8×0.8×0.2=0.128$
所以，该顾客第3天才中奖的概率为0.128 …（4分）
（2）设卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，
则ξ可以取2，-3，-8，-98，…（6分）
P（ξ=2）=0.8，
P（ξ=-3）=0.2-0.08-p=0.12-p，
P（ξ=-8）=0.08，
P（ξ=-98）=p，
ξ的分布列为：
| ξ | 2 | -3 | -8 | -98 |
| P | 0.8 | 0.12-p | 0.08 | p |
所以，Eξ=2×0.8+（-3）×（0.12-p）+（-8）×0.08+（-98）×p=0.6-95p
令Eξ＞0，得$p＜\frac{3}{475}$
所以当$p＜\frac{3}{475}$时，福彩中心可以获取资金资助福利事业持续发展． …（12分）
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的应用，是中档题，解题时要认真审题，在协年高考中都是必考题型之一．
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