题目内容
已知函数f（x）=x-
+alnx-1在其定义域上为增函数
（1）求a的取值范围；
（2）当a≥-2时，试给出零点所在的一个闭区间．
| 1 |
| x |
（1）求a的取值范围；
（2）当a≥-2时，试给出零点所在的一个闭区间．
考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）求出函数的导数，由于f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即有x2+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥-（x+
）max，运用基本不等式，即可求得右边的最大值；
（2）根据（1）的单调性，及零点存在定理，判断f（1）＜0，f（5）＞0恒成立，即可得到零点存在的区间．
即有x2+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥-（x+
| 1 |
| x |
（2）根据（1）的单调性，及零点存在定理，判断f（1）＜0，f（5）＞0恒成立，即可得到零点存在的区间．
解答：
解：（1）f（x）=x-
+alnx-1（x＞0）的导数为
f′（x）=1+
+
=
，
由于f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，
则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即有x2+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥-（x+
）max，
由于x+
≥2，即有-（x+
）≤-2，
当且仅当x=1取得最大值-2．
则a≥-2；
（2）由（1）可得，当a≥-2时，f（x）在x＞0上递增，
由于f（1）=-1＜0，
f（5）=5-
+aln5-1
=
+aln5≥
-2ln5＞0，
由零点存在定理可得，
当a≥-2时，函数f（x）的零点所在的一个区间为[1，5]．
| 1 |
| x |
f′（x）=1+
| 1 |
| x2 |
| a |
| x |
| x2+1+ax |
| x2 |
由于f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，
则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即有x2+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥-（x+
| 1 |
| x |
由于x+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
当且仅当x=1取得最大值-2．
则a≥-2；
（2）由（1）可得，当a≥-2时，f（x）在x＞0上递增，
由于f（1）=-1＜0，
f（5）=5-
| 1 |
| 5 |
=
| 19 |
| 5 |
| 19 |
| 5 |
由零点存在定理可得，
当a≥-2时，函数f（x）的零点所在的一个区间为[1，5]．
点评：本题考查函数的导数的运用：判断单调性，考查不等式的恒成立注意转化为求函数的最值，考查零点存在定理及运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
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圆心在第一象限且和直线3x+4y=5及坐标轴都相切的半径较大圆的方程为（ ）
A、（x-
| ||||||
B、（x+
| ||||||
C、（x-
| ||||||
D、（x+
|
已知集合P={x|x2-x-2≤0}，Q={x|log2（x-1）≤1}，则（∁RP）∩Q等于（ ）
| A、[2，3] |
| B、（-∞，-1]∪[3，+∞） |
| C、（2，3] |
| D、（-∞，-1]∪（3，+∞） |