Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点是F₁，F₂，两个顶点式A₁，A₂，过点F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段A₁A₂为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F₂的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段A₁A₂为直径的圆内和离心率的计算公式即可得出．

解答： 解：不妨设过点F₂与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=

b

a

（x-c），
与y=-

b

a

x联立，可得交点M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵点M在以线段A₁A₂为直径的圆内，
∴

c2

4

+

b2c2

4a2

＜a²，
∴

c4

a4

＜4，
∴e⁴＜4，
∴e＜

2

，
又∵e＞1，
∴双曲线离心率的取值范围是（1，

2

）．
故答案为：（1，

2

）

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．