Question

设函数f（x）=

x

ex

（1）求函数g（x）=f（x）-f′（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式|lnx|≤f（x）+c有解，求实数c的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,指、对数不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

1

ex

-

x

ex

，从而得g（x）=f（x）-f′（x）=2

x

ex

-

1

ex

；再求导，由导数确定函数的单调区间；
（2）不等式|lnx|≤f（x）+c可化为c≥|lnx|-

x

ex

；从而化为函数y=|lnx|-

x

ex

的最值问题．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

ex

-

x

ex

，
故g（x）=f（x）-f′（x）=2

x

ex

-

1

ex

；
g′（x）=

3-2x

ex

；
故当x＜

3

2

时，g′（x）＞0；当x＞

3

2

时，g′（x）＜0；
故函数g（x）=f（x）-f′（x）的单调增区间为（-∞，

3

2

）；
单调减区间为（

3

2

，+∞）；
（2）不等式|lnx|≤f（x）+c可化为
c≥|lnx|-

x

ex

；
结合（1）及函数的四则运算知y=|lnx|-

x

ex

在（0，1）上是减函数，
在（1，+∞）上是增函数，
故lnx|-

x

ex

≥0-

1

e

；
故c≥-

1

e

；
故实数c的最小值为-

1

e

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．