Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且M为PC的中点，求二面角M-AD-B的平面角．

Answer 1

分析 （1）根据三线合一可得AD⊥PQ，AD⊥BQ，故而AD⊥平面PQB；
（2）取PB的中点N，连接MN，AN，QN，则∠BQN为二面角的平面角，根据△PBQ是等腰直角三角形得出∠BQN的大小．

解答 证明：（1）连DB，
∵PA=PD，Q为中点，∴AD⊥PQ
在△ADB中，AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，又Q为AD的中点，
∴AD⊥BQ，
又PQ∩BQ=Q，PQ?平面PQB，BQ?平面PQB，
∴AD⊥平面PQB．
解：（2）取PB的中点N，连接MN，AN，QN，
则MN∥BC∥AD，
∴MN?平面MAD，
由（1）可知AD⊥平面PBQ，QN?平面PBQ，
∴AD⊥QN，又AD⊥QB，
∴∠NQB是二面角M-AD-B的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABD，
∴PQ⊥QB，又△ADP和△ABD是边长为2的等边三角形，
∴PQ=BQ，∠PBQ=45°，
∵N是PB的中点，∴QN=$\frac{1}{2}$PB=BN，
∴∠NQB=∠NBQ=45°．
即二面角M-AD-B的平面角为45°．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，作出二面角的平面角是解题关键，属于中档题．