Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左，右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N，求证：直线MN经过一定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出e=

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设P（1，t），由已知条件分别求出M，N的坐标，设定点为Q，再由k_MQ=k_NQ，能证明直线MN经过一定点Q（4，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，
∴e=

c

a

=

3

2

，
∵过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，
∴

2b2

a

=1，…（2分）
解得a²=4，b²=1，
∴∴椭圆的方程

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵椭圆C的左，右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，
∴A（-2，0），B（2，0），设P（1，t），
则kPA=

t-0

1+2

=

t

3

，直线lPA：y=

t

3

(x+2)，
联立得：

y= t 3 (x+2) x 2 4 +y2=1.

整理，得（4t²+9）x²+16t²x+16t²-36=0，
∴-2xM=

16t2-36

4t2+9

，xM=

18-8t2

4t2+9

，
则

xM= 18-8t2 4t2+9 yM= 12t 4t2+9 .

…（6分）
同理得到

xN= 8t2-2 4t2+1 yN= 4t 4t2+1 .

…（8分）
由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴，
不妨设这个定点为Q（m，0），…10分
又kMQ=

12t 4t2+9

18-8t2 4t2+9 -m

，kNQ=

4t 4t2+1

8t2-2 4t2+1 -m

，
∵k_MQ=k_NQ，∴（8m-32）t²-6m+24=0，m=4．
∴直线MN经过一定点Q（4，0）．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线一定过定点的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．