Question

在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|=2|MB|，
（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；
（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求△NEF面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A，B，M的坐标，根据|AM|=2|MB|，确定坐标之间的关系，利用长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，求出轨迹方程，即可求出曲线C的方程；
（2）分类讨论，直线的斜率存在时，设l：y=kx+1代入椭圆方程，利用弦长公式，求出|EF|，再求出l，l′的距离，表示出△NEF面积，利用导数法，即可得到△NEF面积的最大值．

解答： 解：（1）设A（x₀，0），B（0，y₀），M（x，y）
∵|AM|=2|MB|，
∴

x-x0=-2x y=2y0-2y

，
∴x₀=3x，y₀=

3

2

y，
∵长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，
∴x₀²+y₀²=9
∴x2+

y2

4

=1，
∴曲线C的方程是x2+

y2

4

=1    …..（4分）
（2）当直线的斜率不存在时，即l：x=0，此时（S_△NEF）_max=2  …..（5分）
当直线的斜率存在时，设l：y=kx+1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
y=kx+1代入椭圆方程，可得（4+k²）+2kx-3=0，
有x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

，
∴|EF|=

(1+k2)[ 4k2 (4+k2)2 + 12 4+k2 ]

…..（7分）
由题知过N的直线l′∥l，且l′与椭圆切于N点时，S_△NEF最大，
故设l′：y=kx+b（b≤-2）
联立l′与椭圆方程得（4+k²）+2kbx+b²-3=0，此时△=0，可得k²=b²-4
l，l′的距离d=

|b-1|

1+k2

，
∴S_△NEF=

1

2

•

(1+k2)[ 4k2 (4+k2)2 + 12 4+k2 ]

•

|b-1|

1+k2

=

2 b2-1

b2

|b-1|（b≤-2），…..（10分）
∴（S_△NEF）²=4（1+

1

b

）(1-

1

b

)3（b≤-2）
设y=（S_△NEF）²，t=

1

b

（-

1

2

≤t＜0），
有y=4（1+t）（1-t）³，
∴y′=-8（1-t）²（2t+1）＜0，
∴函数y在（-

1

2

，0），上单调递减，
∴当t=-

1

2

时，函数y取得最大值

27

4

，即b=-2时，（S_△NEF）_max=

3 3

2

＞2
综上所述，（S_△NEF）_max=

3 3

2

             …．（13分）．

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度大．