Question

试求最小的正数a，使得存在正数b，当x∈[0，1]时，恒有

1-x

+

1+x

≤2-bxa；对于所求得的a，确定满足上述不等式的最大正数b．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式 进行转换，利用构造函数法，求出函数的最值即可得到结论．

解答： 解：原不等式等价为-bxa≥

1-x

+

1+x

-2=

( 1-x + 1+x -2)( 1-x + 1+x +2)

1-x + 1+x +2

=

2 1-x2-2

1-x + 1+x +2

=

-2x2

( 1-x + 1+x +2)( 1-x2+1 )

，
故欲使

1-x

+

1+x

≤2-bxa成立，
则只要

-2x2

( 1-x + 1+x +2)( 1-x2 +1)

≤-bxa，
即bxa≤

-2x2

( 1-x + 1+x +2)( 1-x2 +1)

，
令f（x）=(

1-x

+

1+x

+2)(

1-x2

+1)，x∈[0，1]，
令x=cos2α，α∈（0，

π

4

），
则f（x）=(

2

sinα+

2

cosα+2)(1+sin2α)=[

2

(sinα+cosα)+2](sinα+cos)²，
令t=sinα+cosα，t∈[1，

2

]，
则f（x）=（

2

t+2）t²=

2

t³+2t²在t∈[1，

2

]上是单调递增函数，
∴f_max=f（

2

）=8，即bx α-2≤

1

4

，
故a=2，b=

1

4

，
下证a=2，假设存在a＜2，及某个正数b，使

1-x

+

1+x

-2=

-2x2

f(x)

≤-bxa，
则xa-2≥

b

2

•f(x)，
令x=0，
则0≥4b，矛盾，故a=2．
再证b=

1

4

，由

1-x

+

1+x

-2≤-bx2，x∈[0，1]，
即b≤

2

f(x)

，
∴b≤（

2

f(x)

）_min=

1

4

点评：本题主要考查不等式恒成立，综合性较强，难度较大，考查学生的运算和推理能力．