Question

（文）已知点D（1，

2

）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是

3

x+y=0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；
（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）点D（1，

2

）代入双曲线方程，结合且双曲线的一条渐近线的方程是

3

x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；
（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式，即可求实数k的取值范围；
（3）存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．

解答： 解：（1）由题知，有

1 a2 - 2 b2 =1 b a = 3

解得a2=

1

3

，b2=1
因此，所求双曲线C的方程是

x2

1 3

-y2=1
（2）∵直线l过点（0，1）且斜率为k，
∴直线l：y=kx+1．
代入双曲线方程得（3-k²）x²-2kx-2=0．
又直线l与双曲线C有两个不同交点，
∴3-k²≠0且△=（-2k）²+8（3-k²）＞0
解得k∈（-

6

，-

3

）∪（-

3

，

3

）∪（

3

，

6

）．
（3）设点A、B的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            
由（2）可得x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=

-2

3-k2

又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴

-2(1+k2)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，解得k=±1．
又k=±1满足3-k²≠0且△=（-2k）²+8（3-k²）＞0，
∴所求实数k=±1．

点评：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．