Question

13．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为常数，且m≠-3，m≠0．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=$\frac{3}{2}$f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求证：数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列．

Answer 1

分析 （1）求得n=1时，a₁=S₁=1，由a_n+1=S_n+1-S_n，将n换为n+1，相减，结合等比数列的定义，即可得到证明；
（2）求得b₁=a₁=1，由（1）可得q=f（m），由题意可得b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，整理可得，$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，运用等差数列的定义，即可得证．

解答 证明：（1）由n=1可得a₁=S₁，即有（3-m）S₁+2ma₁=m+3，解得a₁=1，
由a_n+1=S_n+1-S_n，
（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
两式相减得（3+m）a_n+1=2ma_n，
因为m≠0且m≠-3，所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2m}{m+3}$，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为$\frac{2m}{m+3}$的等比数列；
（2）因为b₁=a₁=1，q=f（m）=$\frac{2m}{m+3}$，
所以n∈N*且n≥2时，b_n=$\frac{3}{2}$f（b_n-1）=$\frac{3}{2}$•$\frac{2{b}_{n-1}}{3+{b}_{n-1}}$，
可得b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
所以数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数列．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义的运用，考查数列递推式的运用，考查转化思想，化简整理的运算能力，属于中档题．