Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，函数g（x）=f（x）-

1

2

[f（1）+f（3）]，若a＞0且f（x-1）=f（-x-1），g（x）在区间[-2，2]上最大值为-1，求g（x）的表达式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中a＞0且f（x-1）=f（-x-1），可得函数f（x），g（x）的图象关于直线x=-

b

2a

=-1对称；结合g（x）在区间[-2，2]上最大值为-1，构造方程求出a，b值，代入可得g（x）的表达式．

解答： 解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（x-1）=f（-x-1），
故函数f（x），g（x）的图象关于直线x=-

b

2a

=-1对称，即b=2a，
又∵a＞0，
故在区间[-2，2]上，
当x=2，g（x）max=f（2）-

1

2

[f（1）+f（3）]=4a+2b+c-

1

2

[（a+b+c）+（9a+3b+c）]=-a=-1
解得a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+c，
∴f（1）=3+c，f（3）=15+c，
∴g（x）=f（x）-

1

2

[f（1）+f（3）]
=x²+2x+c-

1

2

（3+c+15+c）
=x²+2x-9，
即g（x）=x²+2x-9．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知分析出函数的对称性，进而构造关于a，b的方程是解答的关键．