Question

若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x），则f（x）的解析式可以是（　　）

• A、f（x）=cosx
• B、f（x）=cos（2x+

  π

  2

  ）
• C、f（x）=sin（4x+

  π

  2

  ）
• D、f（x）=cos6x

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．

解答： 解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=

π

4

对称．
∵f（x）=cosx是偶函数，当x=

π

4

时，函数f（x）=

2

2

，不是最值，故不满足图象关于直线x=

π

4

对称，故排除A．
∵函数f（x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．
∵函数f（x）=sin（4x+

π

2

）=cos4x是偶函数，当x=

π

4

时，函数f（x）=-4，是最大值，故满足图象关于直线x=

π

4

对称，故C满足条件．
∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=

π

4

时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=

π

4

对称，故排除D，
故选：C．

点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．