Question

设f（x）和g（x）都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1，2]，都有|f（x）+g（x）|≤8，则称f（x）和g（x）是“友好函数”，设f（x）=ax，g（x）=

b

x

（1）若a∈{1，4}，b∈{-1，1，4}，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率；
（2）若a∈{1，4}，b∈{1，4}，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：新定义

分析：（1）由题意知本题第一问是古典概型问题，先写出试验发生包含的所有事件数，再求出满足条件的事件数，即可得到结果．
（2）由题意知，需先写出试验发生包含的所有事件数，再求出满足条件的事件数，即可得到结果．

解答： 解：（1）由于a∈{1，4}，b∈{-1，1，4}，f（x）=ax，g（x）=

b

x

则可构成如下：f（x）+g（x）=x-

1

x

，f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，
f（x）+g（x）=4x-

1

x

，f（x）+g（x）=4x+

1

x

，f（x）+g（x）=4x+

4

x

，共6种情况，
由于f（x）和g（x）是“友好函数”，则对任意x∈[1，2]，都有|f（x）+g（x）|≤8，
则f（x）和g（x）是“友好函数”包含以下：f（x）+g（x）=x-

1

x

，
f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，f（x）+g（x）=4x-

1

x

，共4种情况
故f（x）和g（x）是“友好函数”的概率P为

4

6

=

2

3

；
（2）由于a∈{1，4}，b∈{1，4}，f（x）=ax，g（x）=

b

x

则可构成如下：f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，
f（x）+g（x）=4x+

1

x

，f（x）+g（x）=4x+

4

x

，共4种情况，
由于f（x）和g（x）是“友好函数”，则对任意x∈[1，2]，都有|f（x）+g（x）|≤8，
则f（x）和g（x）是“友好函数”包含以下：
f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，共2种情况
故f（x）和g（x）是“友好函数”的概率P为

2

4

=

1

2

．

点评：本题主要考查了古典概型，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以新定义的运用为载体，考查概率问题，属于中档题．