Question

已知椭圆C经过点A（0，2），B（

1

2

，

3

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为椭圆C上的动点，求x²₀+2y₀的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设所求的椭圆方程为mx²+nb²=1，（m，n＞0）．把两点A（0，2），B（

1

2

，

3

）代入解出即可；
（2）把点P的坐标代入椭圆的方程，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设所求的椭圆方程为mx²+nb²=1，（m，n＞0）．
由于椭圆C经过点A（0，2），B（

1

2

，

3

），
∴

0+4n=1 m 4 +3n=1

，解得m=1，n=

1

4

，
因此所求椭圆C的方程为：

y2

4

+x2=1．
（2）∵P为椭圆上的动点，∴

y20

4

+x20=1．
∴x

2 0

+2y₀=1-

y 2 0

4

+2y₀=-

1

4

(y0-4)2+5，-2≤y0≤2
当y₀=2时，

x

2 0

+2y0取最大值4．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其点与椭圆的位置关系、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．