Question

设函数f（x）=sinx|sinx-a|-4，若a=1时，f（x）的最小值是

 

；若对任意x∈[0，

π

2

]，f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：第一问把a=1代入，把函数转化为关于sinx的二次函数，利用换元法和二次函数的性质求得函数的最小值．
第二问，利用不等式的性质把f（x）≤0恒成立恒等转化为t-

4

t

≤a≤t+

4

t

的问题，分别求得t+

4

t

的最小值和t-

4

t

的最大值，进而取得a的范围．

解答： 解：①∵sinx≤1，a=1，
∴f（x）=sinx（a-sinx）-4=-sin²x+sinx-4，
令sinx=t，则-1≤t≤1
则f（t）=-t²+t-4，对称轴为t=

1

2

，开口向下，
故t=-1时函数有最大值f（-1）=-1-1-4=-6，
即函数f（x）的最小值为-2，
②f（x）≤0恒成立，
即sinx|sinx-a|≤4，恒成立，设sinx=t，
则t∈[0，1]，即t|t-a|≤4，
|t-a|≤

4

t

，
∴-

4

t

≤t-a≤

4

t

，
即t-

4

t

≤a≤t+

4

t

，
∵t+

4

t

≥

4

=4，
∴a≤4，
∵f（t）=t-

4

t

单调增，f（t）_max=f（1）=-3，∴a≥-3，
综合知-3≤a≤4，
故答案为：-6，[-3，4]

点评：本题主要考查了二次函数的性质，不等式的解法及应用．考查了学生分析和推理的能力．