Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）当a＞0时，f（x）在x=1处有极大值2，试讨论f（x）在[0，2]上的单调性．
（Ⅱ）若f（x）为[-2，2]上的奇函数，且任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2，求c的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），根据条件f（x）在x=1处有极大值2，便可得到两个等式：f′（1）=0，f（1）=2．这样便得到关于a，b，c的两个等式，从而能够找到a，b，c的关系．告诉了a＞0，所以可以选择用a来表示b，c．带入导函数，然后讨论a，判断导数符号，从而来讨论f（x）在[0，2]上的单调性．
（Ⅱ）根据f（x）为[-2，2]上的奇函数，便求出b=0，从而使得导函数中只含a，c．这时候，讨论a取值情况，拿a和0做比较即可．由于f（x）在[-2，2]为奇函数，所以使f（x）在[-2，2]恒有|f（x）|≤2成立，可变成在[0，2]上|f（x）|≤2即可，这样便简化解题过程．下面要做的是讨论函数f（x）在[0，2]上的单调性，根据单调性用a，c表示出f（x）的最大值或最小值，限制最大值小于等于2，最小值大于等于-2，从而得到关于a，c的不等式，从而求出c的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c，由于f（x）在x=1处有极大值2，则

f′(1)=0 f(1)=2

，即

3a+2b+c=0 a+b+c=2

，则c=a+4，b=-2-2a，从而f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)(x-

a+4

3a

)．
由于f（x）在x=1处有极大值，且a＞0，则

a+4

3a

＞1，即0＜a＜2．
（1）当

a+4

3a

＜2，即

4

5

＜a＜2时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1）上单调递增；
x∈（1，

a+4

3a

）时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

a+4

3a

）上单调递减；
x∈（

a+4

3a

，2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[

a+4

3a

，2]上单调递增．
（2）当

a+4

3a

≥2，即0＜a≤

4

5

时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
x∈（1，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，2]上单调递减．
（II）由于f（x）为[-2，2]上的奇函数，从而b=0，从而f（x）=ax³+cx，
要使得任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2，则只需任意的x∈[0，2]时|f（x）|≤2恒成立．
显然要使得c取最大值，则c＞0．
（1）当a≥0时，则当x∈[0，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[0，2]上单调递增．由于任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，则只需f（2）=8a+2c≤2，从而c≤1-4a≤1，即c的最大可能值为1．
（2）当a＜0时，则f′（x）=3ax²+c，令3ax²+c=0，x=±

-c 3a

．
i）当

-c 3a

≥2时，当x∈[0，2]时，恒有f′（x）≥0，故f（x）在[0，2]上单调递增．要使得任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，则只需f（2）=8a+2c≤2，从而c≤1-4a．
考虑到

c -3a

≥2，即-4a≤

c

3

，从而c≤1+

c

3

，故c≤

3

2

，即c的最大可能值为

3

2

．
ii）当0＜

c -3a

＜2时，则当x∈[0，

c -3a

]时，有f′（x）≥0；当x∈[

c -3a

，2]时，有f'（x）≤0，从而f（x）在[0，

c -3a

]上单调递增，在[

c -3a

，2]上单调递减，故要使得任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，则只需f(

c -3a

)=

2c

3

c -3a

≤2，且f（2）=8a+2c≥-2
即c³≤-27a，且0＜-a≤

1+c

4

，故c3≤

1

4

+

c

4

，即（c-3）（4c²+12c+9）=（c-3）（2c+3）²≤0
故c≤3，即c的最大可能值为3．
由上述可知，c的最大可能值为3．下面我们再证明c=3是可取的，令f（x）=-x³+3x，x∈[-2，2]，则f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），则当f′（x）≥0时有-1≤x≤1，故f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，故f_max=max{f（-2），f（1）}=max{2，2}=2，f_min=min{f（-1），f（2）}=min{-2，-2}=-2
从而任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2成立．
综合上述，实数c的最大值为3．

点评：考查的知识点有：利用导数讨论函数的单调性，利用导数求函数的极值，函数的奇偶性．要注意的是，根据函数在x=1处有极大值，变得到导函数的另一零点大于1．对于第二问，求c的最大值，先求关于a，c的不等式．根据函数是奇函数，对于函数在[-2，2]恒有|f（x）|≤2，只需满足在[0，2]有|f（x）|≤2即可．