Question

若函数f（x）=asinx-bcosx在x=

π

3

处有最小值-2，则2a-b=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用辅助角公式可将f（x）=asinx-bcosx转化为f（x）=

a2+b2

sin（x-φ），依题意得

a2+b2

=2，且

π

3

-φ=-

π

2

+2kπ，k∈Z，给k具体值求出φ，代入f（x）化简后可求得a，b的值．

解答： 解：∵f（x）=asinx-bcosx=

a2+b2

sin（x-φ），其中tanφ=

b

a

，在x=

π

3

处有最小值-2，
∴

a2+b2

=2，且

π

3

-φ=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
令k=0，得φ=

5π

6

，
∴f（x）=2sin（x-

5π

6

）=2（sinxcos

5π

6

-cosxsin

5π

6

）=-

3

sinx-cosx，
∴a=-

3

，b=1．
2a-b=-2

3

-1，
故答案为：-2

3

-1．

点评：本题考查两角和的正弦公式，主要考查辅助角公式应用，以及正弦函数的性质，属于中档题．