Question

2．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁B₁的中点，则异面直线AE与A₁D所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A₁D所成的角的余弦值．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A（0，0，0），E（1，0，2），A₁（0，0，2），D（0，2，0），
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，-2），
设异面直线AE与A₁D所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}D}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴异面直线AE与A₁D所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．