题目内容
14．已知数列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…的前n项和为Sn，计算得S1=$\frac{1}{3}$，S2=$\frac{2}{5}$，S3=$\frac{3}{7}$，照此规律，Sn=$\frac{n+1}{2}$．分析 由已知条件利用裂项求和法求解．
解答 解：∵数列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…的前n项和为Sn，
∴S1=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{3}$，
S2=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）=$\frac{2}{5}$，
S3=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$=$\frac{3}{7}$，
照此规律，Sn=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．
点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
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