题目内容

某中学校园内原有一块四分之一圆面形状的草坪AMN（图1），其中AM=AN=8m，∠MAN=90°．今年暑假整治校园环境时，为美观起见，学校设计将原有草坪扩大，具体实施方案是：从圆弧上一点P作圆弧的切线BD，分别与AM，AN的延长线交于B，D，并以AB，AD为邻边构造矩形ABCD，再以C为圆心制作一块与AMN形状相同的草坪，构成矩形绿地ABCD（图2）．
（1）求矩形绿地ABCD占地面积的最小值；
（2）若由于地形条件限制，使得矩形一边AB的长度不能超过10m，求此时矩形绿地ABCD占地面积的最小值．
考点：扇形面积公式,基本不等式
专题：应用题,不等式的解法及应用
分析：（1）设AB=xm，AD=ym，则xy=8
x2+y2
，利用基本不等式，可得结论；
（2）xy=
8x2
x2-64
，令f（x）=
64x4
x2-64
，则函数单调递减，即可求出矩形绿地ABCD占地面积的最小值．
解答： 解：（1）设AB=xm，AD=ym，则xy=8
x2+y2
≥8
2xy
，
∴xy≥128，
当且仅当x=y时，矩形绿地ABCD占地面积的最小值为128m2；
（2）由（1）知y=
8x
x2-64
（0＜x≤10），则xy=
8x2
x2-64
，
令f（x）=
64x4
x2-64
，∴f′（x）=
128x3(x2-128)
(x2-64)2

∵0＜x≤10，∴函数单调递减，
∴x=10m时，矩形绿地ABCD占地面积的最小值为
400
3
m2．
点评：本题考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
练习册系列答案
相关题目
复数
2i
1+i
（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限
已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量
α
=（cos
A-B
2
，
3
sin
A+B
2
），|
α
|=
2
．如果当C最大时，存在动点M，使得|
MA
|，|
AB
|，|
MB
|成等差数列，则
|
MC
|
|
AB
|
最大值是
 
．
已知函数f（x）=
cos2x
sin(x+
π
4
)
的定义域为D，集合A=[-π，π]．
（Ⅰ）求D∩A；
（Ⅱ）若f（x）=
4
3
，求sin2x的值．
已知数列{an}的前n项和为sn，a1=1，当n∈N+有an+1=
Sn
n
+n+1．
（1）求{an}的通项公式
（2）记bn=
1
an
，求证：b1+b2+…+bn≤
2n-1
．
已知f（x）=-lnx，g（x）=
1
x
-1（x＞0）
（Ⅰ）求F（x）=f（x）-g（x）的极值，并证明：若x1，x2∈（0，+∞）有f（x2）-f（x1）≥f′（x1）（x2-x1）
（Ⅱ）设λ1，λ2＞0，且λ1+λ2=1，x1＞0，x2＞0，证明：λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）．若λi＞0，xi＞0，（i=1，2，…n），由上述结论猜想一个一般性结论（不需证明）．
（Ⅲ）证明：若ai＞0（i=1，2，…n），则a1 a1a2 a2…an an≥(
a1+a2+…+an
n
)a1+a2+…+an．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，
tanB
tanC
=
2a-c
c
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=sinx•cos（x+B）+
3
4
（x∈[0，
π
2
]）的值域．
已知函数f（x）=x3-12x
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[-3，3]时，求f（x）的最值．
已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若k＜
2c-b
2a
对任意的a，b，c恒成立，则
k2-2k+3
1-k
的最小值为
 
．

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