Question

已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

．如果当C最大时，存在动点M，使得|

MA

|，|

AB

|，|

MB

|成等差数列，则

| MC |

| AB |

最大值是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,平面向量的基本定理及其意义,三角函数的化简求值

专题：等差数列与等比数列

分析：由

a

2=(cos

A-B

2

)2+(

3

sin

A+B

2

)2，得cos（A-B）+3cosC=0，当C最大时，A=B，cosC=-

1

3

．由|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，知M的轨迹是以A，B为焦点、2|AB|为长轴的椭圆，由此能求出

|MC|

|AB|

最大值．

解答： 解：∵

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

∴

a

2=(cos

A-B

2

)2+(

3

sin

A+B

2

)2
=

1

2

[1+cos（A-B）+3-3cos（A+B）]=2，
∴0=cos（A-B）-3cos（A+B）=cos（A-B）+3cosC，
当C最大时，A=B，cosC=-

1

3

，
∵|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，
∴|MA|+|MB|=2|AB|，
∴M的轨迹是以A，B为焦点、2|AB|为长轴的椭圆，
∵比值与单位的选择无关，∴设|AB|=2，AB的中点为O，
由A=B，知|AC|=|BC|=p，
由余弦定理，2p²（1+

1

3

）=4，解得p²=

3

2

，
∴|OC|=

p2-1

=

1

2

，
直观判断，当M是上述椭圆的短轴端点（与点C在AB的两侧），
这时|OM|=

3

，
∴

|MC|

|AB|

最大值为

1 2 + 3

2

=

2 3 + 2

4

．
故答案为：

2 3 + 2

4

．

点评：本题考查两线段比值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意向量、数列、椭圆等知识点的综合运用．