Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=1，当n∈N⁺有a_n+1=

Sn

n

+n+1．
（1）求{a_n}的通项公式
（2）记b_n=

1

an

，求证：b₁+b₂+…+b_n≤

2n-1

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=

Sn

n

+n+1，得na_n+1=S_n+n²+n①，(n-1)an=Sn-1+(n-1)2+(n-1)②（n≥2），两式相减可得递推式，由递推式可判断数列为等差数列，注意检验n=1时情形；
（2）易求b_n，用数学归纳法可证明；

解答： 解：（1）由a_n+1=

Sn

n

+n+1，得na_n+1=S_n+n²+n①，
(n-1)an=Sn-1+(n-1)2+(n-1)②（n≥2），
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，即a_n+1-a_n=2（n≥2），
又a₂=S₁+2，∴a₂-a₁=2，
∴{a_n}为等差数列，首项为1，公差为2，
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）由（1）知，b_n=

1

an

=

1

2n-1

，
则b₁+b₂+…+b_n≤

2n-1

即为1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤

2n-1

，
①当n=1时，左边=1，右边=1，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，即1+

1

3

+…+

1

2k-1

≤

2k-1

，
则n=k+1时，1+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k+1

≤

2k-1

+

1

2k+1

=

4k2-1 +1

2k+1

＜

2k+1

2k-1

=

2k+1

，
∴n=k+1时不等式也成立；
综上，b₁+b₂+…+b_n≤

2n-1

．

点评：该题考查由数列递推式求数列通项、不等式的证明等知识，考查学生的运算求解能力．