Question

如图是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）设AB₁垂直于BC₁，且BC=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积和体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据三视图作出直观图，根据线面平行的判定定理即可证明AB₁∥平面BDC₁；
（2）根据条件求出相应的边长，利用表面积和体积公式进行计算即可．

解答： 解：（1）由三视图画出直观图，如图，

这是一个正三棱柱，连接BC₁和B₁C，交点为O，则O为B₁C的中点，连接OD，
因为D为中点，所以

OD∥AB1 OD?平面BDC1 AB1?平面BDC1

⇒AB1∥平面BDC1．

（2）过D作DG⊥BC，垂足为G，连接GO，
因为侧面垂直于底面，
所以DG⊥侧面BCC₁B₁，
所以OD在侧面BCC₁B₁内的射影为GO，
由

AB1⊥BC1 BC=2

⇒BB1=

2

，
故表面积为6

2

+2

3

；体积为

6

．

点评：本题主要考查空间几何体中线面平行的判定，以及表面积和体积的计算，根据三视图作出直观图是解决本题的关键．