Question

已知道函数f（x）=alnx+

1

2

x²+（a+1）x+3
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调递减区间．
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）a=-1时，f（x）=-lnx+

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2

x²+3，得f′（x）=x-

1

x

，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，从而f（x）在（0，1）递减；
（2）由f′（x）=

a

x

+x+a+1，（x＞0），令f′（x）≥0，即

a

x

+x+a+1≥0，从而求出a≥0．

解答： 解：（1）a=-1时，f（x）=-lnx+

1

2

x²+3，
∴f′（x）=x-

1

x

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减；
（2）∵f′（x）=

a

x

+x+a+1，（x＞0），
令f′（x）≥0，即

a

x

+x+a+1≥0，
整理得：a（1+x）≥-x（1+x），
∴a≥0．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．