Question

设数列{a_n}（n∈N）满足a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）求a₂，a₃的值； 
（2）证明：数列{a_n-a_n-1}为等差数列；
（3）数列{a_n}的通项公式；
（4）设T_n=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

，求证：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式即可得出；
（2）a_n+2=2a_n+1-a_n+2，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即可证明；
（3）利用等差数列的通项公式与“累加求和”即可得出；
（4）由（2）可知：

1

(n+2)an

=

1

(n+2)n(n+1)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）解：∵a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
∴a₂=2a₁-a₀+2=2×2-0+2=6，
a₃=2a₂-a₁+2=2×6-2+2=12．
（2）证明：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
化为（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴数列{a_n-a_n-1}为等差数列，且首项 a₁-a₀=2-0=2，公差为2．
（3）解：由（2）可得a_n-a_n-1=a₁-a₀+2（n-1）=2+2（n-1）═2n．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…++2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）．
（4）证明：由（2）可知：

1

(n+2)an

=

1

(n+2)n(n+1)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴T_n=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

=

1

2

[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+(

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

)]
=

1

2

[

1

1×2

-

1

(n+1)(n+2)

]=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

＜

1

4

．
∴T_n＜

1

4

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．