Question

6．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|-2．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥a²-a-2在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；
（2）f（x）=|x-1|+|x+1|-2≥|（x-1）-（x+1）|-2=0，利用关于x的不等式f（x）≥a²-a-2在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\-2x≥3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x≤1\\ 2≥3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ 2x≥3\end{array}\right.$
解得：$x≤-\frac{3}{2}$或$x≥\frac{3}{2}$，∴不等式的解集为$\left\{{\left.x\right|x≤-\frac{3}{2}}\right.$或$\left.{x≥\frac{3}{2}}\right\}$．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x+1|-2≥|（x-1）-（x+1）|-2=0，
且f（x）≥a²-a-2在R上恒成立，∴a²-a-2≤0，解得-1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是-1≤a≤2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．