Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，则下列关系可以成立的而是（　　）

• A． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$
• B． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）
• C． （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$
• D． （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，分别假设A，B，C，D成立，根据向量的数量积公式和向量的垂直即可判断．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ
若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4-2cosθ=0，解得cosθ=2，显然θ不存在，故A不成立，
若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=4-1=3≠0，故B不成立，
若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+2cosθ=0，解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{2π}{3}$，故C成立，
若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4+2cosθ=0，解得cosθ=-2，显然θ不存在，故D不成立，
故选：C．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的定义以及向量的垂直，考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．