Question

17．已知$f（x）=\frac{1-x}{1+x}$，数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，对于任意n∈N^*都满足a_n+2=f（a_n），且a_n＞0，若a₂₀=a₁₈，则a₂₀₁₆+a₂₀₁₇的值为$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 确定数列的周期为4，求出a₂₀₁₇=$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₆=$\sqrt{2}$-1，即可得出结论．

解答 解：由题意，${a_1}=\frac{1}{2}$，a_n+2=f（a_n），且a_n＞0，
∴a₃=$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{1}{2}$，a₇=$\frac{1}{3}$，a₉=$\frac{1}{2}$，…，∴a₂₀₁₇=$\frac{1}{2}$，
∵a_n+2=f（a_n），∴a_n+4=f（a_n+2），∴a_n+4=$\frac{1-\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}{1+\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}$=a_n，即数列的周期为4
a₂₀=a₁₈=t，则t=$\frac{1-t}{1+t}$，∴t²+2t-1=0，∵t＞0，∴t=$\sqrt{2}$-1，
∴a₂₀₁₆=$\sqrt{2}$-1，
∴a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=$\sqrt{2}-1+\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列与函数的综合，考查数列的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．