Question

1．已知数列{a_n}是等差数列，且a₁，a₂（a₁＜a₂）分别为方程x²-6x+5=0的二根．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）在（1）中，设b_n=$\frac{S_n}{n+c}$，求证：当c=-$\frac{1}{2}$时，数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{a_n}的通项公式；
（2）先化简b_n，再利用定义证明即可．

解答 解：（1）解方程x²-6x+5=0得其二根分别为1和5，
∵a₁，a₂（a₁＜a₂）分别为方程x²-6x+5=0的二根
∴以a₁=1，a₂=5，
∴{a_n}等差数列的公差为4，
∴${S_n}=n•1+\frac{{n（{n-1}）}}{2}•4$=2n²-n；
（2）证明：当$c=-\frac{1}{2}$时，${b_n}=\frac{S_n}{n+c}$=$\frac{{2{n^2}-n}}{{n-\frac{1}{2}}}=2n$，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，
∴{b_n}是以2为首项，公差为2的等差数列．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的定义，属于基础题．