Question

如图（1），在三角形ABC中，BA=BC=2

2

，∠ABC=90°，点O，M，N分别为线段的中点，将ABO和MNC分别沿BO，MN折起，使平面ABO与平面CMN都与底面OMNB垂直，如图（2）所示．
（1）求证：AB∥平面CMN；
（2）求平面ACN与平面CMN所成角的余弦；
（3）求点M到平面ACN的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明OB∥平面CMN、OA∥平面CMN，可得平面OAB∥平面CMN，从而可证明AB∥平面CMN；
（2）分别以OB，OM，OA为x，y，z轴建立坐标系，求出平面ANC的法向量、平面CMN的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ACN与平面CMN所成角的余弦；
（3）求出

MC

=(0，0，1)，即可求点M到平面ACN的距离．

解答： （1）证明：∵OB∥MN，OB?平面CMN，MN?平面CMN，
∴OB∥平面CMN；
∵OA∥MC，OA?平面CMN，MC?平面CMN，
∴OA∥平面CMN，
∵OA∩OB=O，∴平面OAB∥平面CMN，
又AB?平面OAB，
∴AB∥平面CMN…（4分）
（2）解：分别以OB，OM，OA为x，y，z轴建立坐标系，
则A（0，0，2），B（2，0，0），M（0，1，0），C（0，1，1），N（1，1，0），
∴

AC

=(0，1，-1)，

NC

=(-1，0，1)，
设平面ANC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则有

n • AC =y-z=0 n • NC =-x+z=0

，
令x=1，得

n

=(1，1，1)，
而平面CMN的法向量为：

OM

=

n1

=(0，1，0)，
|cos＜

n

，

n1

＞|=

n • n1

| n| •| n1 |

=

3

3

…（8分）
（3）解：

MC

=(0，0，1)，
由（2）知平面ANC的法向量为：

n

=(1，1，1)，
∴d=

| MC • n |

| n |

=

3

3

…（12分）

点评：本题考查线面平行的判定，考查空间角与距离，正确运用向量法是解题的关键．