Question

若sinα+cosα=

2

2

（lnx+

1

lnx

 ），则α的值为（　　）

• A、2kπ+

  π

  4

  ，k∈Z
• B、kπ+

  π

  4

  ，k∈Z
• C、2kπ-

  π

  4

  ，k∈Z
• D、kπ-

  π

  4

  ，k∈Z

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,对数的运算性质

专题：三角函数的求值

分析：利用对数函数的性质及基本不等式，可得lnx+

1

lnx

≥2或lnx+

1

lnx

≤-2，结合已知可得sin（α+

π

4

）≥1或sin（α+

π

4

）≤-1，利用正弦函数的值域可知sin（α+

π

4

）=1或sin（α+

π

4

）=-1，从而可求α的值．

解答：解：由基本不等式得：lnx+

1

lnx

≥2或lnx+

1

lnx

≤-2，
∴

2

2

（lnx+

1

lnx

）≥

2

或

2

2

（lnx+

1

lnx

）≤-

2

，
又sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），sinα+cosα=

2

2

（lnx+

1

lnx

 ），
∴sin（α+

π

4

）≥1或sin（α+

π

4

）≤-1，
由正弦函数的性质可知，sin（α+

π

4

）=1或sin（α+

π

4

）=-1，
∴α+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴α=kπ+

π

4

，k∈Z．
故选：B．

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查基本不等式的应用与正弦函数的值域，考查综合分析与运算能力，属于中档题．