Question

已知f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，
（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π]，求g（x）=

f(x)-f′(x)

4+f(x)+f′(x)

的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,三角函数中的恒等变换应用

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用导数，建立方程关系，根据三角函数的公式进行化简即可得到结论．
（Ⅱ）求出函数g（x）的表达式，利用

解答： 解：由 f（x）=sinx+cosx知  f'（x）=cosx-sinx
（Ⅰ）由f（x）=2f'（x）得3sinx=cosx，有

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

cos2x+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

9sin2x+2sin2x

9sin2x-3sinxsinx

=

11

6

．
（Ⅱ）由x∈[0，2π]，g(x)=

f(x)-f′(x)

4+f(x)+f′(x)

=

2sinx

4+2cosx

=

sinx

2+cosx

，
g′（x）=

2(cosx+ 1 2 )

(2+cosx)2

．
当0≤x＜

2π

3

或

4π

3

＜x≤2π时，cosx＞-

1

2

，
即f'（x）＞0；
因此g（x）的单调递增区间为[0，

2π

3

)，(

4π

3

，2π]．

点评：本题主要考查导数的计算，以及利用导数研究函数单调性，考查学生的计算能力．