Question

把函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移

π

6

个单位后得到偶函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求φ的值；  
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（I）根据函数图象的平移变换法则，可求出平移后函数的解析式，进而根据正弦型函数的奇偶性，求出φ的值；  
（Ⅱ）求出函数h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的解析式，并利用辅助角（和差角）公式，化为正弦型函数的形式，结合正弦型函数的单调性，可得答案．

解答： 解：（I）把函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移

π

6

个单位后得到：
g（x）=2sin[2（x+

π

6

）+φ]的图象，
∵函数g（x）为偶函数，
故当x=0时，2×

π

6

+φ=

π

2

+kπ，即φ=

π

6

+kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

，
（II）由（I）得：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x-

π

12

）=2sin2x
g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
∴h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x+

π

4

），
由2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]得：x∈[-

3π

8

+2kπ，

π

8

+2kπ]，（k∈Z），
故函数h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的单调增区间为[-

3π

8

+2kπ，

π

8

+2kπ]，（k∈Z）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查三角函数的奇偶性、单调性与三角恒等变换，属于中档题．