Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

tanB

tanA

+1=

2c

a

．
（1）求B；
（2）若cos（C+

π

6

）=

1

3

，求sinA的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的a和c，化成sinA和sinB，化简整理求得cosB的值，进而求得B．
（2）利用同角三角函数关系，求得sin（C+

π

6

）的值，进而利用两角和公式求得答案．

解答： 解：（1）∵

tanB

tanA

+1=

2c

a

，

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

sinBcosA

cosBsinA

+1=

2sinC

sinA

，
∴

sinBcosA+cosBsinA

cosBsinA

=

2sinC

sinA

，即

sin(A+B)

cosBsinA

=

2sinC

sinA

，
∴

sinC

cosBsinA

=

2sinC

sinA

．
∵在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，
∴cosB=

1

2

．                                   
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．                      
（2）∵0＜C＜

2π

3

，
∴

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

．
∵cos（C+

π

6

）=

1

3

，
∴sin（C+

π

6

）=

2 2

3

．          
∴sinA
=sin（B+C）
=sin（C+

π

3

）
=sin[（C+

π

6

）+

π

6

]
=sin（C+

π

6

）cos

π

6

+cos（C+

π

6

）sin

π

6

=

2 6 +1

6

．

点评：本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．解题的过程中一定要特别注意角的范围．