Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²=b²+c²+

3

bc．
（1）求角A的值；
（2）设a=

3

，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用正弦定理表示出b，csinA，利用三角形面积公式表示出S，将a，sinA及表示出的b，csinA代入表示出S，代入S+3cosBcosC中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，利用余弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：（1）∵a²=b²+c²+

3

bc，即b²+c²-a²=-

3

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

3

2

，
则A=

5π

6

；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：b=

asinB

sinA

，csinA=asinC，
∵a=

3

，sinA=

1

2

，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

•

asinB

sinA

•asinC=3sinBsinC，
∴S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C），
则当B-C=0，即B=C=

π-A

2

=

π

12

时，S+3cosBcosC取得最大值3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．