Question

设a是实数，f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R），
（1）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）试证明对于任意a，f（x）为增函数．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质即可求实数a的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明对于任意a，f（x）为增函数．

解答： 解：（1）若f（x）为奇函数，则f（0）=0，
即 a-

2

20+1

=0，
∴a=1
证明：（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，
又由2^x＞0得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴对于a取任意实数，f（x）为增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．