题目内容
13．若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是两个不共线的非零向量，（1）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$起点相同，则实数t为何值时，$\overrightarrow{a}$、t$\overrightarrow b$、$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow a+\vec b）$三个向量的终点A，B，C在一直线上？
（2）若|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为60°，则实数t为何值时，|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|的值最小？
分析 （1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}$，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值；
（2）由题设条件，可以把|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|的平方表示成关于实数t的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值．
解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=t\vec b-\vec a$，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\vec b-\frac{2}{3}\vec a$，
∵$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}$
∴$t\vec b-\vec a=λ（{\frac{1}{3}\vec b-\frac{2}{3}\vec a}）$，可得$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{3}λ\\-1=-\frac{2}{3}λ\end{array}\right.\end{array}$∴$t=\frac{1}{2}$；
故存在t=$\frac{1}{2}$时，A、B、C三点共线；
（2）设|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=k
|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|2=|$\overrightarrow a$|2+t2|$\overrightarrow b$|2-2t|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cos60°=k2（t2-t+1）=k2（t-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{3}{4}$，
∴$t=\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|的值最小．
点评 本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示．．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | {7} | B． | {3，5} | C． | {1，3，6，7} | D． | {1，3，7} |
| A． | [0，+∞） | B． | [0，$\frac{3}{2}$] | C． | （0，$\frac{3}{2}$] | D． | （$\frac{3}{2}$，+∞） |
如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为57，100，则图形Ω面积的估计值为（ ）| A． | $\frac{57a}{100}$ | B． | $\frac{100a}{57}$ | C． | $\frac{57{a}^{2}}{100}$ | D． | $\frac{100{a}^{2}}{57}$ |
| A． | $\frac{43}{48}$ | B． | $-\frac{11}{24}$ | C． | $\frac{29}{36}$ | D． | $\frac{11}{48}$ |