Question

如图四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，点M是线段PC的中点，求平面MBQ与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件得PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出平面MBQ与平面ABCD所成角的余弦值．

解答： （1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵PA=BD，Q为AD中点，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，设AB=2，
则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），
B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），

OM

=(-1，

3

2

，

3

2

)，

QB

=(0，

3

，0)，
设

n

=(x，y，z)是平面MBQ的法向量，
则

QM • n =-x+ 3 2 y+ 3 2 z=0 QB • n = 3 x=0

，
取z=1，得

n

=(

3

2

，0，1)，
又

m

=(0，0，1)是平面BQC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

1× 7 4

=

2 7

7

，
∴平面MBQ与平面ABCD所成角的余弦值为

2 7

7

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．