题目内容
已知二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，AC=BD=4，CD=3，则AD与BC所成角的余弦值为考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：由于
=
+
+
，利用数量积的性质可得：
2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
，把已知代入即可得出．
| AC |
| AD |
| DB |
| BC |
| AC |
| AD |
| DB |
| BC |
| AD |
| DB |
| AD |
| BC |
| DB |
| BC |
解答：
解：如图所示，过D在平面α内作DE⊥l，过A作AE∥l，DE∩AE=E，BE，AB．
则∠BDE是二面角α-l-β，其大小为60°，DE=AC=4，AE=CD=3．
∴△BDE是等边三角形．
由上面可知：l⊥平面BDE，AE∥l．
∴AE⊥平面BDE．
∴AE⊥BE．
∴AB=
=5．
∵
=
+
+
，
∴
2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
．
∵AD=
=5，同理可得BC=5．
•
=-
•
=-9，
•
=-
•
=-9．
∴52=52+32+52-2×9+2
•
-2×9，
∴
•
=1，
∴5×5cos＜
，
＞=
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为
．
故答案为：
．
则∠BDE是二面角α-l-β，其大小为60°，DE=AC=4，AE=CD=3．
∴△BDE是等边三角形．
由上面可知：l⊥平面BDE，AE∥l．
∴AE⊥平面BDE．
∴AE⊥BE．
∴AB=
| BE2+AE2 |
∵
| AB |
| AD |
| DC |
| CB |
∴
| AB |
| AD |
| DC |
| CB |
| AD |
| DC |
| AD |
| CB |
| DC |
| CB |
∵AD=
| CD2+AC2 |
| AD |
| DC |
| DA |
| DC |
| DC |
| CB |
| CD |
| CB |
∴52=52+32+52-2×9+2
| AD |
| CB |
∴
| AD |
| CB |
∴5×5cos＜
| AD |
| CB |
| 1 |
| 25 |
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为
| 1 |
| 25 |
故答案为：
| 1 |
| 25 |
点评：本题考查了向量的多边形法则、数量积的性质、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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如图四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．已知
，
为单位向量，且满足（2
+
）•
=0，则＜
，
＞=（ ）
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| A、30° | B、60° |
| C、120° | D、150° |