Question

如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，BC=CD=

1

2

AD．
（Ⅰ）若E为PD中点，证明：CE∥平面APB；
（Ⅱ）若PA=PB，PC=PD，证明：平面APB⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，BF，由已知条件推导出EFBC为平行四边形，由此能证明CE∥平面APB．
（Ⅱ）取CD中点G，AB中点H，连接PG，HG，PH，由已知条件推导出PG⊥CD，PH⊥AB，BC⊥CD，从而HG⊥CD，由线面垂直得CD⊥PH．由此能证明PH⊥平面ABCD．

解答： 证明：（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，BF，
因为E为PD中点，所以EF

∥

.

1

2

AD，因为BC

∥

.

1

2

AD，
所以EF

∥

.

BC，所以EFBC为平行四边形，
所以BF∥CE，…（4分）
因为BF?平面APB，CE不包含于平面APB，
所以CE∥平面APB．…（6分）
（Ⅱ）取CD中点G，AB中点H，连接PG，HG，PH，
∵PC=PD，CD中点G，∴PG⊥CD，
∵△APB是等腰三角形，H是AB中点，
∴PH⊥AB，HG∥AD．∵BC∥AD，BC⊥CD，∴HG⊥CD，…（10分）
HG∩PG=G，HG?平面PHG，PG?平面PHG，
∴CD⊥平面PHG．PH?平面PHG，∴CD⊥PH．
∵AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，AB和CD相交，
∴PH⊥平面ABCD．
又PH?平面APB，
∴平面APB⊥平面ABCD． …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．