题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，∠BAD=60°，E、F分别为BC、PA的中点．（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）由等边三角形性质得DE⊥BC，由平行线性质得DE⊥AD，由线面垂直得PD⊥DE，由此能证明平面DEF⊥平面PAD．
（II）建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值．
（II）建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：连接BD，依题BD=2，
在正三角形BDC中，∵BE=EC，∴DE⊥BC，
又AD∥BC，∴DE⊥AD．…（2分）
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DE，AD∩PD=D，
∴DE⊥平面PAD，又DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PAD．…（4分）
（II）解：结合（Ⅰ），建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
平面PDE的一个法向量为
=(1，0，0)，…（6分）
同时A（2，0，0），B（1，
，0），P（0，0，2），
则
=（2，0，-2），
=（1，
，-2），
设平面PAB的法向量
=(x，y，z)，
则
，于是
，即
，
取z=
得
=(
，1，
)，…（9分）
∴cos＜
，
＞=
=
，…（11分）
从而平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值
．…（12分）
在正三角形BDC中，∵BE=EC，∴DE⊥BC，
又AD∥BC，∴DE⊥AD．…（2分）
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DE，AD∩PD=D，
∴DE⊥平面PAD，又DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PAD．…（4分）
（II）解：结合（Ⅰ），建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
平面PDE的一个法向量为
| n1 |
同时A（2，0，0），B（1，
| 3 |
则
| PA |
| PB |
| 3 |
设平面PAB的法向量
| n2 |
则
|
|
|
取z=
| 3 |
| n2 |
| 3 |
| 3 |
∴cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| ||
1•
|
从而平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值
2
| ||
| 7 |
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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