Question

已知圆M：x²+y²-4x+2y+c=0与y轴交于A，B两点，圆心为M，且∠AMB=90°．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若圆M与直线x+y-1=0交于E，F两点，且E，F的横坐标x_E＜y_F，动点H到E，F两点的距离的比为λ（λ＞0），求点H的轨迹方程，并说明它是什么图形．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）利用△AMB为等腰直角三角形，可求c的值；
（Ⅱ）求出E，F的坐标，利用动点H到E，F两点的距离的比为λ（λ＞0），可得轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）圆M：x²+y²-4x+2y+c=0可化为（x-2）²+（y+1）²=5-c，
∵∠AMB=90°，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴5-c=8，
∴c=-3；
（Ⅱ）直线x+y-1=0代入x²+y²-4x+2y-3=0，∵x_E＜y_F，∴E（0，1），F（4，-3）．
设H（x，y），则
|HE|²=x²+（y-1）²，|HF|²=（x-4）²+（y+3）²，
∵动点H到E，F两点的距离的比为λ（λ＞0），
∴（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+8λ²x-（2+6λ²）y+1-25λ²=0，
λ=1时，方程为x-y-3=0，轨迹为线段EF的垂直平分线，
λ≠1时，方程表示以（-

4λ2

1-λ2

，

1+3λ2

1-λ2

）为圆心，

4 2 λ

|1-λ2|

为半径的圆．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．