Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求异面直线AC与BC₁所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）设BC₁与CB₁交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC₁，利用线面平行的判定，可得AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）因为AC∥A₁C₁，得到异面直线AC与BC₁所成角为∠BC₁A₁，通过勾股定理的逆定理可求为90°．

解答： （I）证明：设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点．

在△ABC₁中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC₁的中点，
∴OD为△ABC₁的中位线，
∴OD∥AC₁，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）解：∵AC∥A₁C₁，
∴异面直线AC与BC₁所成的角为∠BC₁A₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，
∴A₁B²=AA₁²+AB²=41，BC₁²=CC₁²+BC²=32，A₁C₁²=9，
∴A₁B²=BC₁²+A₁C₁²，
∴∠A₁C₁B=90°，
∴异面直线AC与BC₁所成角的大小为90°．

点评：本题考查了直三棱柱中的线面关系以及线线关系，熟练直棱柱的性质是解答的关键．