Question

6．已知抛物线y²=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．

解答 解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为$y=\sqrt{3}（x-1）$，
联立直线AB与抛物线的方程可得：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，解之得：$A（3，2\sqrt{3}）$，$B（\frac{1}{3}，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
所以$|{AB}|=\sqrt{{{（3-\frac{1}{3}）}^2}+{{（2\sqrt{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）}^2}}=\frac{16}{3}$，
而原点到直线AB的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{3}}|}}{2}$，
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|{AB}|×d=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．
故应选C．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．