Question

14．$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$是空间的一个单位正交基底，$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为（2，1，5），则$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为（　　）

• A． （-1，2，3）
• B． （1，-2，3）
• C． （1，2，-3）
• D． （-3，2，1）

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{p}$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为（x，y，z），由$\overrightarrow{p}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）+y（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）+z（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），列出方程组，能求出结果．

解答 解：∵$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$是空间的一个单位正交基底，
$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为（2，1，5），
∴$\overrightarrow{p}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$，
设$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为（x，y，z），
则$\overrightarrow{p}$=x（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）+y（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）+z（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），
∴2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）+y（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）+z（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）=（x+z）$\overrightarrow{a}$+（x+y）$\overrightarrow{b}$+（y+z）$\overrightarrow{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=x+z}\\{1=x+y}\\{5=y+z}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=2，z=3，
∴$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow b+\overrightarrow c，\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为（-1，2，3）．
故选：A．

点评 本题考查空间向量基本定理及其意义的应用，是基础题，解题时要注意向量相等的合理运用．