Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}，等比数列{b_n}，满足b₁=a₁+1=2，b₂=a₂+1，b₃=a₄+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的条件建立方程组，即可求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错误相减法即可求数列{c_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵b₁=a₁+1=2，
∴a₁=2-1=1，
∴b₂=a₂+1=2+d，b₃=a₄+1=2+3d．
∴

b

2 2

=b1b3，
即（2+d）²=2（2+3d），
即d²=2d，解得d=0（舍去）或d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₂=2+d=2+2=4，
∴公比q=

4

2

=2，∴bn=2•2n-1=2n．
即a_n=2n-1，bn=2n．
（Ⅱ）∵cn=(2n-1)2n，
Sn=c1+c2+c3+…+cn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1，
∴-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1，

=2+ 8(1-2n-1) 1-2 -(2n-1)×2n+1   =-6-(2n-3)2n+1

，
∴Sn=6+(2n-3)2n+1．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的求解，以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算能力．